Calcule o seguinte limite.
lim t -3 36-4 t^22 t^2+7 t+3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando $ t $ se aproxima de -3 da função t . A gente vai usar conhecimentos de limites de funções racionais e fatoração de polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ t = -3 $ diretamente na função para ver o que acontece:
t = -3
Calculando o numerador:
36 - 4(-3)^22(-3)^2 + 7(-3) + 3
E o denominador:
36 - 4 times 9 = 36 - 36 = 0
Então, temos 2 times 9 + (-21) + 3 = 18 - 21 + 3 = 0 , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar a expressão.
Fatorando o numerador:
36 - 4t^2 = 4(9 - t^2) = 4(3^2 - t^2) = 4(3 - t)(3 + t)
Fatorando o denominador:
Queremos fatorar 2t^2 + 7t + 3. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão 2 times 3 = 6 e que somados dão 7. Esses números são 1 e 6.
Então:
2t^2 + 7t + 3 = 2t^2 + 6t + t + 3 = 2t(t + 3) + 1(t + 3) = (2t + 1)(t + 3)

Passo 4

Agora, substituímos os fatores na função original:
36 - 4t^22t^2 + 7t + 3 = 4(3 - t)(3 + t)(2t + 1)(t + 3)
Perceba que temos um fator (t + 3) no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator, já que t está se aproximando de -3, mas nunca é exatamente -3 (evitamos divisão por zero).
Então, fica:
4(3 - t)2t + 1

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, vamos substituir $ t = -3 $ novamente:
t = -3

Resposta

O limite é -245.

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