Determine os domínios das funções a seguir.
f(x)=raiz[3]1+x+raiz-x^2+5 x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio da função $ f(x) = \sqrt[3]{1+x} + \sqrt{ -x^{2} + 5x -6 } $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções com raízes, especificamente raiz cúbica e raiz quadrada, e como elas influenciam no domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função é composta por duas partes: $ \sqrt[3]{1+x} $ e $ \sqrt{ -x^{2} + 5x -6 } $.

Passo 3

Começando pela raiz cúbica, sabemos que a raiz cúbica de qualquer número real está sempre definida. Não importa se o radicando (o que está dentro da raiz) é positivo, negativo ou zero, a raiz cúbica sempre existe. Portanto, não precisamos nos preocupar com restrições para $ \sqrt[3]{1+x} $.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a raiz quadrada $ \sqrt{ -x^{2} + 5x -6 } $. Diferente da raiz cúbica, a raiz quadrada só está definida quando o radicando é maior ou igual a zero. Então, precisamos garantir que $ -x^{2} + 5x -6 \geq 0 $.

Passo 5

Vamos resolver a inequação $ -x^{2} + 5x -6 \geq 0 $. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar, lembrando que isso inverte o sinal da inequação:
-x^2 + 5x -6 >= 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 5x + 6 = 0
Então, as raízes são $ x = 2 $ e $ x = 3 $.

Passo 7

O gráfico de $ x^{2} -5x +6 $ é uma parábola que abre para cima. A inequação $ x^{2} -5x +6 \leq 0 $ será satisfeita entre as raízes, ou seja, para valores de $ x $ entre 2 e 3.

Passo 8

Portanto, a função $ f(x) $ está definida para $ x $ no intervalo fechado de 2 a 3, já que só nesses valores a segunda parte da função existe.

Resposta

O domínio da função é $ x \in [2, 3] $.

Exercícios relacionados