Determine os domínios das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio da função $ f(x) = \sqrt[3]{1+x} + \sqrt{ -x^{2} + 5x -6 } $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções com raízes, especificamente raiz cúbica e raiz quadrada, e como elas influenciam no domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A função é composta por duas partes: $ \sqrt[3]{1+x} $ e $ \sqrt{ -x^{2} + 5x -6 } $.
Passo 3
Começando pela raiz cúbica, sabemos que a raiz cúbica de qualquer número real está sempre definida. Não importa se o radicando (o que está dentro da raiz) é positivo, negativo ou zero, a raiz cúbica sempre existe. Portanto, não precisamos nos preocupar com restrições para $ \sqrt[3]{1+x} $.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a raiz quadrada $ \sqrt{ -x^{2} + 5x -6 } $. Diferente da raiz cúbica, a raiz quadrada só está definida quando o radicando é maior ou igual a zero. Então, precisamos garantir que $ -x^{2} + 5x -6 \geq 0 $.
Passo 5
Vamos resolver a inequação $ -x^{2} + 5x -6 \geq 0 $. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar, lembrando que isso inverte o sinal da inequação:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são $ x = 2 $ e $ x = 3 $.
Passo 7
O gráfico de $ x^{2} -5x +6 $ é uma parábola que abre para cima. A inequação $ x^{2} -5x +6 \leq 0 $ será satisfeita entre as raízes, ou seja, para valores de $ x $ entre 2 e 3.
Passo 8
Portanto, a função $ f(x) $ está definida para $ x $ no intervalo fechado de 2 a 3, já que só nesses valores a segunda parte da função existe.
Resposta
O domínio da função é $ x \in [2, 3] $.