Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x{2}-x-6}{x{2}-5 x-14}
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? A questão pede pra calcular
limxto -2x^2 - x - 6x^2 - 5x - 14
Isso é conteúdo de cálculo de limites, mais especificamente limites que dão forma indeterminada . Para resolver, a gente vai:
  1. Tentar a substituição direta e ver que dá .
  2. Entender que, quando aparece , a gente precisa fatorar numerador e denominador para simplificar.
  3. Depois de simplificar, é só substituir de novo.

Passo 2

Primeiro, testa a substituição direta:
  • Numerador em (-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 : (-2)^2 - 5(-2) - 14 = 4 + 10 - 14 = 0
  • Denominador em :
Como deu , isso é uma forma indeterminada. A teoria diz que quando temos , não dá pra concluir direto; a gente precisa simplificar a expressão pra “tirar” o zero em cima e embaixo.

Passo 3

Vamos fatorar:
  • Numerador x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) : procura dois números que multiplicam x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) e somam (x-3)(x+2)(x-7)(x+2) . São x-3x-7 e . Então
  • Denominador : precisa de dois que multiplicam e somam . São e . Então
Aí a fração fica
Dá pra cancelar o fator comum , mas só em (no limite a gente não está “pegando” exatamente , e sim chegando nele).
Depois de cancelar, sobra

Passo 4

Agora que simplificou, já não dá mais problema de x-3x-7|x=-2 = -2 - 3-2 - 7 = -5-9 = 59 . Só precisa substituir nessa expressão:

Resposta

boxedtfrac59

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