Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1+t}}{t}
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular
limt to 0 1 - raiz1+tt
Isso é um exercício de limites de funções. Aqui vamos encontrar uma indeterminação do tipo e usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) pra simplificar.

Passo 2

Primeiro, checar o que acontece se a gente substitui 1 - raiz1+0 = 1 - 1 = 0 e t = 0, direto:
logo ficamos com , que é indeterminado. Por isso precisamos de um truque.

Passo 3

O truque é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é 1 - raiz1+tt ;times; 1 + raiz1+t1 + raiz1+t = (1 - raiz1+t)(1 + raiz1+t)t,(1 + raiz1+t) . Assim:
[
\frac{1 - \sqrt{1+t}}{t}
;\times;
\frac{1 + \sqrt{1+t}}{1 + \sqrt{1+t}}

\frac{(1 - \sqrt{1+t})(1 + \sqrt{1+t})}{t,(1 + \sqrt{1+t})}.
]
Na teoria, . Aqui e .

Passo 4

Calcular o numerador usando (1)^2 - l(raiz1+tr)^2 = 1 - (1+t) = -t :
-tt,(1 + raiz1+t) = -11 + raiz1+t,
Então a fração vira
pois podemos cancelar o .

Passo 5

Agora é só aplicar o limite em limtto0-11 + raiz1+t = -11 + raiz1+0 = -11 + 1 = -tfrac12 :

Resposta

boxed-12

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