Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1+t}}{t}
\end{equation*}
egin{equation*}
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1+t}}{t}
\end{equation*}
Passo 1
Beleza, o enunciado manda calcular
Isso é um exercício de limites de funções. Aqui vamos encontrar uma indeterminação do tipo
e usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado) pra simplificar.
Passo 2
Primeiro, checar o que acontece se a gente substitui
direto:
logo ficamos com
, que é indeterminado. Por isso precisamos de um truque.
Passo 3
O truque é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
. Assim:
[
\frac{1 - \sqrt{1+t}}{t}
;\times;
\frac{1 + \sqrt{1+t}}{1 + \sqrt{1+t}}
\frac{(1 - \sqrt{1+t})(1 + \sqrt{1+t})}{t,(1 + \sqrt{1+t})}.
]
]
Na teoria,
. Aqui
e
.
Passo 4
Calcular o numerador usando
:
Então a fração vira
pois podemos cancelar o
.
Passo 5
Agora é só aplicar o limite em
: