Determine o intervalo onde as funções são contínuas. Justifique com os devidos cálculos.
r-x-6, se x<-4 raiz16-x^2, se -4 <= x<4 x-6, se x >= 4

Passo 1

Beleza, temos uma função definida em pedaços:
f(x)= -x - 6, & x < -4,[6pt] raiz16 - x^2, & -4 <= x < 4,[6pt] x - 6, & x >= 4
Conteúdo: continuidade de funções (linha reta e raiz quadrada) e teste de continuidade em pontos de “troca” de definição. Vamos precisar de dois conceitos básicos:
  1. Qualquer função polinomial (ou da forma ) é contínua em todo lugar.
  2. A função é contínua em todo ponto onde e é contínua.
  3. Pra um ponto , é contínua se .

Passo 2

Primeiro, olha cada “pedaço” longe dos pontos de troca (isto é, para , para e para ):
  1. Se , então , que é uma reta. Retas são contínuas em todo lugar, então não tem estresse ali.
  2. Se , então . A função interna é contínua e não fica negativa nesse intervalo ( para ). A raiz quadrada de algo não-negativo e contínuo também é contínua. Logo em não tem problema, é contínua.
  3. Se , então , outra reta, contínua para todo .
Conclusão até agora: em cada intervalo aberto , e a função é contínua, porque cada parte individual é contínua lá dentro.

Passo 3

Agora falta testar nos pontos críticos e .
Para :
  • Lado esquerdo ( ): usa .
  • Lado direito ( ): usa .
  • Valor em : pela definição, em usamos a raiz, então
Como , não bate. Logo, há descontinuidade em .

Passo 4

Para :
  • Lado esquerdo ( ):
  • Lado direito ( ): usa , então
  • Valor em : como em vale , temos
Aqui , então também é ponto de descontinuidade.

Resposta

A função (-infty, -4),, (-4, 4),, (4, infty) é contínua em cada intervalo onde não há mudança de “fórmula”, ou seja:
Em e ela tem descontinuidade (saltos distintos nos limites laterais).

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