Calcule os limites abaixo.
\egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{4-\sqrt{x^{2}+7}}
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, mano! A questão pede pra calcular o limite
limx to -3 x+34 - raizx^2 + 7
Isso é um problema de limites em que, se você plugasse direto, daria uma forma “ ” – a famigerada forma indeterminada. Para resolver, a gente vai usar o conceito de racionalização de denominador (multiplicar pelo conjugado) e depois simplificar pra conseguir avaliar direitinho.

Passo 2

Primeiro, confirma que é mesmo indeterminação. Se 4 - raiz(-3)^2 + 7 ;=; 4 - raiz9 + 7 = 4 - 4 = 0 , o numerador fica e o denominador fica
Então o limite é da forma – sinal verde pra racionalizar!

Passo 3

Racionalização: multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é x+34 - raizx^2 + 7 ;times; 4 + raizx^2 + 74 + raizx^2 + 7 =; (x+3),l(4 + raizx^2+7r)(4)^2 - l(raizx^2+7r)^2 . Então

Passo 4

No denominador a gente usa a identidade (4)^2 - (raizx^2+7)^2 = 16 - (x^2 + 7) = 9 - x^2 = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3) , mas já fizemos isso ao multiplicar. Então
(x+3),(4 + raizx^2+7)-(x-3)(x+3)
Assim o quociente vira
= 4 + raizx^2+7-(x-3) = -,4 + raizx^2+7x-3
Como perto do ponto, dá pra cancelar :

Passo 5

Agora que não tem mais indeterminação, é só mandar -,4 + raiz(-3)^2+7-3 - 3 = -,4 + raiz9+7-6 = -,4 + 4-6 = -,8-6 = 86 = 43 :

Resposta

boxed43

Exercícios relacionados