Calcule os limites abaixo.
\egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}
\end{equation*}
\egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}
\end{equation*}
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente achar
Isso cai em “limites” no cálculo diferencial, e mais especificamente limites que vão dar infinito (porque o denominador zera). Para resolver a gente vai precisar:
- Entender o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de pela direita; - Fazer análise de sinal (positivo ou negativo) e ver se o denominador vai a zero de um lado específico;
- Aplicar o raciocínio de que “constante dividido por coisa muito pequena” dá infinito, respeitando o sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o numerador:
Quando
, basta substituir (aproximar) pra ver o comportamento:
Ou seja, o numerador tende a
, que é um número fixo e negativo.
Passo 3
Agora o denominador é
Ele é o produto de duas partes:
-
— quando , , sempre positivo; -
— quando , , mas como é pelo lado direito, (pequeno e positivo).
Então o produto
ou seja, um número muito pequeno, mas positivo.
Passo 4
Juntando tudo: o numerador tende a
(negativo) e o denominador tende a
(positivo e quase zero).
Quando você divide um valor fixo negativo por um número que vai para zero do lado positivo, o quociente “explode” para . Em símbolos:
Quando você divide um valor fixo negativo por um número que vai para zero do lado positivo, o quociente “explode” para