Calcule os limites abaixo.
\egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-3}
\end{equation*}
\egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-3}
\end{equation*}
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão pede para calcular o limite
Conteúdo: é um problema de Cálculo I, seção “Limites” e, em especial, limites que geram a forma indeterminada
. Para resolver, vamos precisar conhecer:
- O que significa “forma indeterminada” e por que não dá para só “substituir” de cara;
- Como fatorar um polinômio e simplificar a expressão para eliminar a indeterminação;
- Como fazer a substituição final depois de simplificar.
Passo 2
Primeiro, tentamos a substituição direta, ou seja, colocar
na expressão:
Numerador: .
Denominador: .
Então temos . Isso é uma forma indeterminada, significa que não dá para concluir o valor do limite só por essa substituição—precisamos manipular a expressão antes.
Numerador:
Denominador:
Então temos
Passo 3
A técnica aqui é fatorar o numerador
. Vamos achar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, porque
e
. Logo:
Passo 4
Reescrevendo a fração com a fatoração, fica
Como
está indo a 3, mas diferente de 3 (no limite a gente considera valores próximos), podemos cancelar
em cima e embaixo:
Agora a expressão não é mais problemática; não dá indeterminação.
Passo 5
Com a forma simplificada
, vamos de novo fazer
. Substituindo: