Calcule os limites abaixo.
\egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-3}
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede para calcular o limite
limx to 3 x^2 - 5x + 6x - 3
Conteúdo: é um problema de Cálculo I, seção “Limites” e, em especial, limites que geram a forma indeterminada . Para resolver, vamos precisar conhecer:
  • O que significa “forma indeterminada” e por que não dá para só “substituir” de cara;
  • Como fatorar um polinômio e simplificar a expressão para eliminar a indeterminação;
  • Como fazer a substituição final depois de simplificar.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta, ou seja, colocar na expressão:
Numerador: .
Denominador: .
Então temos . Isso é uma forma indeterminada, significa que não dá para concluir o valor do limite só por essa substituição—precisamos manipular a expressão antes.

Passo 3

A técnica aqui é fatorar o numerador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) . Vamos achar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , porque e . Logo:

Passo 4

Reescrevendo a fração com a fatoração, fica
x^2 - 5x + 6x - 3 = (x - 2)(x - 3)x - 3
Como (x - 2),cancel(x - 3)cancel(x - 3) = x - 2 está indo a 3, mas diferente de 3 (no limite a gente considera valores próximos), podemos cancelar em cima e embaixo:
Agora a expressão não é mais problemática; não dá indeterminação.

Passo 5

Com a forma simplificada x - 2 |x=3 = 3 - 2 = 1 , vamos de novo fazer . Substituindo:

Resposta

limx to 3 x^2 - 5x + 6x - 3 = 1

Exercícios relacionados