Calcule os limites abaixo, se existirem.
.

Passo 1

Vamos calcular o limite da função $ \lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x^{3}}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(1x^3) <= 1

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os lados dessa desigualdade por $ x $. É importante considerar o sinal de $ x $ porque estamos aproximando de 0.
  • Se $ x $ for positivo:
x
  • Se $ x $ for negativo:
x

Passo 4

Vamos analisar os limites dos extremos quando $ x $ tende a 0:
x
limx to 0 x = 0

Passo 5

Como $ x \cos\left(\frac{1}{x^{3}}\right) $ está sempre entre $ -x $ e $ x $, e ambos os limites são 0, pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que:
x cos(1x^3)

Resposta

O limite é 0.

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