Calcule os limites abaixo, se existirem.
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Passo 1
Vamos calcular o limite da função $ \lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x^{3}}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, multiplicamos todos os lados dessa desigualdade por $ x $. É importante considerar o sinal de $ x $ porque estamos aproximando de 0.
- Se $ x $ for positivo:
- Se $ x $ for negativo:
Passo 4
Vamos analisar os limites dos extremos quando $ x $ tende a 0:
Passo 5
Como $ x \cos\left(\frac{1}{x^{3}}\right) $ está sempre entre $ -x $ e $ x $, e ambos os limites são 0, pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que:
Resposta
O limite é 0.