Calcule os limites abaixo, se existirem.
a in R, em que .

Passo 1

Então, temos que calcular o limite de $ x \cos\left(\frac{1}{x}\right) + a e^{2x + 2} $ quando $ x $ se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Precisamos entender como cada parte da expressão se comporta quando $ x $ está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo $ x \cos\left(\frac{1}{x}\right) $. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, $ -1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 $. Multiplicando tudo por $ x $, temos:
x cos(1x)
Como $ x $ está se aproximando de 0, tanto $ -x $ quanto $ x $ vão para 0. Por isso, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), concluímos que:
-1 <= cos(1x) <= 1

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo termo da expressão: $ a e^{2x + 2} $. Podemos reescrever o expoente como:
a e^2x + 2
Sabemos que a função exponencial é contínua, então podemos calcular o limite diretamente substituindo $ x = 0 $:
2x + 2 = 2(x + 1)
Multiplicando pelo coeficiente $ a $, temos:
x = 0

Resposta

O limite é $ a e^{2} $.

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