Calcule os limites abaixo, se existirem.
, em que
.
Passo 1
Então, temos que calcular o limite de $ x \cos\left(\frac{1}{x}\right) + a e^{2x + 2} $ quando $ x $ se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Precisamos entender como cada parte da expressão se comporta quando $ x $ está perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo $ x \cos\left(\frac{1}{x}\right) $. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, $ -1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 $. Multiplicando tudo por $ x $, temos:
Como $ x $ está se aproximando de 0, tanto $ -x $ quanto $ x $ vão para 0. Por isso, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), concluímos que:
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo termo da expressão: $ a e^{2x + 2} $. Podemos reescrever o expoente como:
Sabemos que a função exponencial é contínua, então podemos calcular o limite diretamente substituindo $ x = 0 $:
Multiplicando pelo coeficiente $ a $, temos:
Resposta
O limite é $ a e^{2} $.