Considere a função
h(x)= x, & x >= 3 x^23, & x<3
e calcule os seguintes limites.
(a) lim x 3^- h(x)-h(3)x-3.
(b) lim x 3^+ h(x)-h(3)x-3.
© lim x 3 h(x)-h(3)x-3.

Passo 1

Aqui a gente tem uma função definida por partes:
h(x)=x,&x>=3x^23,&x<3
O conteúdo principal é limite de função, especialmente limites laterais para uma função por partes, e vamos usar álgebra básica para simplificar a expressão do quociente h(x)-h(3)x-3.

Passo 2

Primeiro, calculamos h(3). Como 3>=3, usamos o trecho h(x)=x. Assim:
h(3)=3
Esse valor é essencial para montar o numerador do quociente de diferença.

Passo 3

Para o limite pela esquerda ( xto3^-), usamos o trecho h(x)=x^23. Então
h(x)-h(3)x-3=x^23-3x-3=x^2-93x-3=(x-3)(x+3)3(x-3)=x+33
Fazendo xto3 deste lado, obtemos
limxto3^-h(x)-h(3)x-3=3+33=2

Passo 4

Para o limite pela direita ( xto3^+), usamos h(x)=x. Então
h(x)-h(3)x-3=x-3x-3=1
sempre que xne3. Logo
limxto3^+h(x)-h(3)x-3=1

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (2 e 1), o limite em x=3 não existe. Isso mostra também que a derivada de h em 3 não existe, pois as derivadas laterais não coincidem.

Resposta

(a) 2; (b) 1; © não existe.

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