Calcule os limites abaixo, se existirem.
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Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar o comportamento de cosl(1/xr) quando x se aproxima de zero. Esse é um problema de limites de funções que podem oscilar muito perto de um ponto.

Passo 2

Definição via sequências: para que limxto0f(x) exista e valha L, toda sequência (xn) que tende a zero deve satisfazer f(xn)to L. Se acharmos duas sequências com limites diferentes de f(x), o limite não existe.

Passo 3

Primeira sequência: escolha xn=1/(2pi n). Então
1/xn=2pi n e
cosl(1/xnr)=cos(2pi n)=1. Logo cos(1/xn)to1.

Passo 4

Segunda sequência: escolha x'n=1/l((2n+1)pir). Então
1/x'n=(2n+1)pi e
cosl(1/x'nr)=cosl((2n+1)pir)=-1. Logo cos(1/x'n)to-1.

Passo 5

Como encontramos duas aproximações de xto0 que levam a limites diferentes (1 e -1), cos(1/x) não pode se aproximar de um único valor.

Resposta

O limite não existe.

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