Calcule os limites abaixo, se existirem:
h) lim x 0 a^x-1x,(0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite para resolver:
limx 0 a^x -1x, onde 0 < a neq 1
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e algumas noções de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função exponencial a^x = e^x ln a pode ser reescrita usando a base do número de Euler . A relação é:
Aqui, é o logaritmo natural de . Essa transformação é útil porque facilita o uso de limites conhecidos envolvendo a função .

Passo 3

Agora, substituímos a^x -1x = e^x ln a -1x na nossa expressão original:
limx 0 e^x ln a -1x
Isso nos leva a considerar o limite:

Passo 4

Sabemos de cálculo que:
limy 0 e^y -1y = 1
Isso é um resultado fundamental na derivada da função exponencial. Se compararmos com a nossa expressão, podemos fazer uma substituição onde . Quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 5

Aplicando essa substituição, reescrevemos o limite assim:
limx 0 e^x ln a -1x = limy 0 e^y -1y cdot ln a = 1 cdot ln a = ln a

Resposta

Portanto,
limx 0 a^x -1x = ln a

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