Calcule os limites abaixo, se existirem:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite para resolver:
Esse exercício está no conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e algumas noções de exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função exponencial
pode ser reescrita usando a base do número de Euler
. A relação é:
Aqui,
é o logaritmo natural de
. Essa transformação é útil porque facilita o uso de limites conhecidos envolvendo a função
.
Passo 3
Agora, substituímos
na nossa expressão original:
Isso nos leva a considerar o limite:
Passo 4
Sabemos de cálculo que:
Isso é um resultado fundamental na derivada da função exponencial. Se compararmos com a nossa expressão, podemos fazer uma substituição onde
. Quando
tende a 0,
também tende a 0.
Passo 5
Aplicando essa substituição, reescrevemos o limite assim:
Resposta
Portanto,