Calcule todas as determinações (valores) das seguintes potências:
(1+imath)^2

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Calcular a potência (1+imath)^2. O assunto aqui é potência de número complexo; para resolver podemos usar tanto o binômio de Newton quanto o Teorema de De Moivre (forma polar).

Passo 2

Cálculo algébrico pelo binômio de Newton: seja a=1 e b=imath. Então
(1+imath)^2 = 1^2 + 2cdot1cdotimath + (imath)^2 = 1 + 2imath + (-1) = 2imath,

Passo 3

Cálculo pela forma polar e De Moivre: escrevendo 1+imath em módulo e argumento, temos
r = |1+imath| = raiz1^2+1^2 = raiz2, theta = arg(1+imath) = tfracpi4 + 2kpi

Passo 4

Pela fórmula (re^itheta)^n = r^n e^intheta,
(1+imath)^2 = (raiz2)^2 e^i(2(tfracpi4+2kpi)) = 2e^i(tfracpi2+4kpi) = 2e^itfracpi2 = 2imath,
Como 4kpi é múltiplo de 2pi, todas as determinações coincidem em 2imath.

Resposta

2\imath

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