Se a>0, seia I(a)=integral^a e^-u^2 d u.
a) Mostre que
I^2(a)=integral duplaD e^-(x^2+y^2) d x d y, onde D=[-a, a] times[-a, a]
b) Se B1 e B2 são as bolas fechadas inscrita e circunscrita a D, respectivamente, mostre que
integral duplaB1 e^-(x^2+y^2) d x d y <= I^2(a) <= integral duplaB2 e^-(x^2+y^2) d x d y
c) Calcule as integrais sobre B1 e B2, e use b) para mostrar que I(a) tende para raizpi quando a tende para +infty. Isto prova que integral0^+infty e^-u^2 d u=raizpi2.

Passo 1

Vamos chamar de I(a) a integral I(a)=integral-a^ae^-u^2,du. O objetivo é usar repetição de integrais (Fubini) e coordenadas polares para mostrar que I(a)toraizpi quando ato+infty, e daí concluir que integral0^+inftye^-u^2,du=tfracraizpi2.

Passo 2

Como I(a)=integral-a^ae^-x^2,dx, temos
I(a)^2 = l(integral-a^ae^-x^2,dxr)l(integral-a^ae^-y^2,dyr) = integral dupla[-a,a]times[-a,a]e^-(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

Seja D=[-a,a]times[-a,a]. Definimos duas bolas centradas na origem:
– a bola inscrita B1=(x,y):x^2+y^2<= a^2
– a bola circunscrita B2=(x,y):x^2+y^2<= 2a^2.

Passo 4

Como B1subset Dsubset B2 e o integrando e^-(x^2+y^2) é positivo, segue
integral duplaB1e^-(x^2+y^2),dx,dy <= I(a)^2 <= integral duplaB2e^-(x^2+y^2),dx,dy

Passo 5

Agora usamos coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Para B1:0<= r<= a, temos
integral duplaB1e^-(x^2+y^2),dx,dy = integral0^2piintegral0^ae^-r^2,r,dr,dtheta =2piintegral0^ar e^-r^2,dr =2picdot1-e^-a^22 =pil(1-e^-a^2r)

Passo 6

De modo análogo, para B2:0<= r<= araiz2
integral duplaB2e^-(x^2+y^2),dx,dy =2piintegral0^araiz2r e^-r^2,dr =pil(1-e^-2a^2r)

Passo 7

Portanto
pil(1-e^-a^2r) <= I(a)^2 <= pil(1-e^-2a^2r)

Passo 8

Fazendo ato+infty nota-se que e^-a^2to0 e e^-2a^2to0, logo ambas as bordas tendem a pi. Pelo teorema do sanduíche,
I(a)^2topi, ou seja I(a)toraizpi. Como I(a)=integral-a^ae^-u^2,du, em particular

Resposta

integral0^+inftye^-u^2,du = raizpi2

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