Se
, seia
.
a) Mostre que
b) Se
e
são as bolas fechadas inscrita e circunscrita a
, respectivamente, mostre que
c) Calcule as integrais sobre
e
, e use b) para mostrar que
tende para
quando
tende para
. Isto prova que
.
a) Mostre que
Passo 1
Vamos chamar de I(a) a integral
. O objetivo é usar repetição de integrais (Fubini) e coordenadas polares para mostrar que
quando
, e daí concluir que
.
Passo 2
Como
, temos
Passo 3
Seja
. Definimos duas bolas centradas na origem:
– a bola inscrita
– a bola circunscrita .
– a bola inscrita
– a bola circunscrita
Passo 4
Como
e o integrando
é positivo, segue
Passo 5
Agora usamos coordenadas polares
. Para
, temos
Passo 6
De modo análogo, para
Passo 7
Portanto
Passo 8
Fazendo
nota-se que
e
, logo ambas as bordas tendem a
. Pelo teorema do sanduíche,