Calcule os limites abaixo, se existirem.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x \cos \left(\frac{1}{x}\right)+2 e^{2 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\bigl(x\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)+2e^{2x+2}\bigr).
Estamos trabalhando com limites de soma e produto, usando a linearidade do limite, o teorema do aperto para funções limitadas e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Pela propriedade de soma de limites, se ambos existirem, então
\lim_{x\to0}\bigl(x\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)+2e^{2x+2}\bigr) = \lim_{x\to0}x\cos\bigl(\tfrac1x\bigr) + \lim_{x\to0}2e^{2x+2}.

Passo 3

Para \lim_{x\to0}x\cos\bigl(\tfrac1x\bigr), note que \cos\bigl(\tfrac1x\bigr) está preso entre -1 e 1. Logo
-|x|\le x\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)\le|x|
e como \lim_{x\to0}|x|=0, pelo teorema do aperto obtemos
\lim_{x\to0}x\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.

Passo 4

Para \lim_{x\to0}2e^{2x+2}, usamos a continuidade de e^u. Basta substituir x=0 em 2e^{2x+2}:
\lim_{x\to0}2e^{2x+2} =2e^{2\cdot0+2} =2e^2.

Passo 5

Somando os resultados dos dois limites:
0 + 2e^2 = 2e^2.

Resposta

2e^2

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