Calcule os limites abaixo, se existirem.
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x\to0} x^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr). Aqui o conteúdo principal é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto/Sanduíche), pois sabemos que \sin é limitada, e vamos usar essa propriedade para estimar o produto.

Passo 2

Como para todo t\in\mathbb{R} vale
-1 \le \sin(t) \le 1,
substituindo t = \tfrac{1}{x} obtemos
-1 \le \sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \le 1.
Multiplicando toda a desigualdade por x^{2}\ge0, chega-se a
-\,x^{2} \le x^{2}\,\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \le x^{2}.

Passo 3

Observamos que
\lim_{x\to0}(-\,x^{2}) = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}x^{2} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, como x^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) está “apertado” entre duas funções que tendem a 0, concluímos que
\lim_{x\to0}x^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = 0.

Resposta

0

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