Determine uma solução particular de
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 \cos ^{2} t .

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear com coeficientes constantes
y''-2y'+5y=2\cos^2 t.
O conteúdo que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, pois o termo do lado direito é combinação de funções elementares (constante e cosseno).

Passo 2

Primeiro simplificamos o lado direito usando a identidade de ângulo duplo
\cos^2 t=\frac{1+\cos2t}{2},
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2\cos^2 t=1+\cos2t.
Assim reescrevemos a equação como
y''-2y'+5y=1+\cos2t.

Passo 3

Analisamos a equação homogênea
y''-2y'+5y=0
cuja equação característica é
r^2-2r+5=0\quad\Rightarrow\quad r=1\pm2i.
Isso gera soluções e^{t}\cos2t e e^{t}\sin2t. Como a parte real do forçamento \cos2t vem com e^{0t}, não há ressonância. Portanto, usamos o ansatz
y_p(t)=K + C\cos2t + D\sin2t,
com constantes K,C,D a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'=-2C\sin2t +2D\cos2t,
y_p''=-4C\cos2t -4D\sin2t.
Substituindo em y''-2y'+5y obtemos
y_p''-2y_p'+5y_p =\bigl(-4C\cos2t-4D\sin2t\bigr) -2\bigl(-2C\sin2t+2D\cos2t\bigr) +5\bigl(K+C\cos2t+D\sin2t\bigr)
=5K+(C-4D)\cos2t+(4C+D)\sin2t.

Passo 5

Esse resultado deve coincidir com 1+\cos2t. Igualando coeficientes, vem o sistema
5K=1, \quad C-4D=1, \quad 4C+D=0.
Da primeira equação K=\tfrac15. Da terceira D=-4C. Substituindo na segunda:
C-4(-4C)=C+16C=17C=1 \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac1{17}, \quad D=-\tfrac4{17}.

Resposta

A solução particular é
y_p(t)=\frac15+\frac1{17}\cos2t-\frac4{17}\sin2t.

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