Determine uma solução particular de
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial linear com coeficientes constantes
O conteúdo que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, pois o termo do lado direito é combinação de funções elementares (constante e cosseno).
Passo 2
Primeiro simplificamos o lado direito usando a identidade de ângulo duplo
logo
Assim reescrevemos a equação como
Passo 3
Analisamos a equação homogênea
cuja equação característica é
Isso gera soluções
e
. Como a parte real do forçamento
vem com
, não há ressonância. Portanto, usamos o ansatz
com constantes
a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Esse resultado deve coincidir com
. Igualando coeficientes, vem o sistema
Da primeira equação
. Da terceira
. Substituindo na segunda:
Resposta
A solução particular é