QUESTÃO 05

Utilizando o Teste da Série Alternada, determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4 n+3)}{6 n-2}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Série Alternada (ou de Leibniz) à série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{4n+3}{6n-2}.
Nesse teste definimos a_n=\frac{4n+3}{6n-2} e temos duas condições para convergência:
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
  2. (a_n) é eventualmente decrescente.

Passo 2

Calculemos o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{4n+3}{6n-2} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}\neq0.
Como condição necessária de qualquer série é que o termo geral tenda a zero, já vemos que falha essa primeira condição.

Passo 3

Não é preciso nem verificar o decrescimento, pois o fato de \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 implica que a série não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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