Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x 0|e^sen x-e^xsen x-x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão x . Aqui, vamos usar conceitos de limites e séries de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções próximas de um ponto, nesse caso, $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando $ x $ está próximo de 0, podemos aproximar $ \sin x $ e $ e^{x} $ usando séries de Taylor. A série de Taylor de $ \sin x $ em torno de 0 é:
x
E a série de $ e^{x} $ é:
sin x

Passo 3

Vamos agora aproximar $ e^{\sin x} $ usando a série de Taylor de $ e^{x} $, mas substituindo $ x $ por $ \sin x $:
e^sin x
Substituindo a aproximação de $ \sin x $, temos:
e^x

Passo 4

Simplificando os termos até a ordem $ x^3 $:
x^3
Comparando com $ e^{x} $:
e^sin x approx 1 + x - x^36 + x^22 + x^33 + dots = 1 + x + x^22 + x^36 + dots

Passo 5

Calculando a diferença $ e^{\sin x} - e^{x} $:
e^sin x - e^x
Parece que termos de ordem superior são necessários. Vamos considerar termos de ordem $ x^5 $:
e^sin x - e^x approx (1 + x + x^22 + x^36) - (1 + x + x^22 + x^36) = 0 + dots
x^5
sin x = x - x^36 + x^5120 - dots
e^sin x approx 1 + x - x^36 + x^22 + x^36 + dots = 1 + x + x^22 - x^5120 + dots

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador $ \sin x - x $:
sin x - x

Passo 7

Agora, colocamos tudo na expressão original:
|e^sin x - e^xsin x - x| approx |-x^560-x^36| = |x^5/60x^3/6| = |x^210|

Passo 8

Finalmente, calculamos o limite quando $ x $ tende a 0:
x

Resposta

O limite é 0.

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