Calcule os limites abaixo, se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão
. Aqui, vamos usar conceitos de limites e séries de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções próximas de um ponto, nesse caso, $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando $ x $ está próximo de 0, podemos aproximar $ \sin x $ e $ e^{x} $ usando séries de Taylor. A série de Taylor de $ \sin x $ em torno de 0 é:
E a série de $ e^{x} $ é:
Passo 3
Vamos agora aproximar $ e^{\sin x} $ usando a série de Taylor de $ e^{x} $, mas substituindo $ x $ por $ \sin x $:
Substituindo a aproximação de $ \sin x $, temos:
Passo 4
Simplificando os termos até a ordem $ x^3 $:
Comparando com $ e^{x} $:
Passo 5
Calculando a diferença $ e^{\sin x} - e^{x} $:
Parece que termos de ordem superior são necessários. Vamos considerar termos de ordem $ x^5 $:
Passo 6
Agora, vamos calcular o denominador $ \sin x - x $:
Passo 7
Agora, colocamos tudo na expressão original:
Passo 8
Finalmente, calculamos o limite quando $ x $ tende a 0:
Resposta
O limite é 0.