Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x pi^-2(sec x-tg x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x pi2^- (sec x - tan x). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam próximo ao ponto pi2.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sec x e tan x em termos de seno e cosseno, que são funções mais básicas. Sabemos que:
sec x = 1cos x e tan x = sin xcos x
Então, substituindo na expressão original:
sec x - tan x = 1cos x - sin xcos x

Passo 3

Agora, como as duas frações têm o mesmo denominador, podemos unir:
sec x - tan x = 1 - sin xcos x
Queremos ver o que acontece com essa expressão quando x se aproxima de pi2 pela esquerda.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
  • Quando x pi2^-, sin x 1, então 1 - sin x 0.
  • cos x quando x pi2, cos x 0.
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada 00, que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
lim x pi2^- 1 - sin xcos x = lim x pi2^- -cos x- sin x = lim x pi2^- cos xsin x = lim x pi2^- cot x

Passo 6

Sabemos que cot x = cos xsin x. Quando x se aproxima de pi2, cos x 0 e sin x 1, então:
cot x 0

Resposta

O limite é 0.

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