Calcule os limites abaixo, se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam próximo ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
e
em termos de seno e cosseno, que são funções mais básicas. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, como as duas frações têm o mesmo denominador, podemos unir:
Queremos ver o que acontece com essa expressão quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
- Quando
, , então . - Já
quando , .
Então, estamos lidando com uma forma indeterminada
, que nos permite usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Passo 6
Sabemos que
. Quando
se aproxima de
,
e
, então:
Resposta
O limite é
.