Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x 0^+ sen xx-tg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as aproximações dessas funções próximas de zero. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, quando $ x $ está bem próximo de zero, podemos aproximar as funções seno e tangente usando as expansões em série de Taylor:
  • $ \sin x \approx x $
  • $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} \approx x + \frac{x^3}{3} $
Essas aproximações ajudam a simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
Simplificando o denominador:
sin xx - tg x approx xx - (x + x^33)
Então, nossa expressão fica:
x - (x + x^33) = -x^33

Passo 4

Simplificando essa fração:
x-x^33 = 3x-x^3 = -3x^2
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando $ x $ se aproxima de zero pela direita.

Passo 5

Quando $ x $ tende a zero pelo lado positivo ($ x \rightarrow 0^{+} $), $ x^2 $ também tende a zero, e como está no denominador, a fração $ \frac{3}{x^2} $ tende ao infinito positivo. Mas como há um sinal negativo na frente, o limite total tende a:
x

Resposta

O limite é $ -\infty $.

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