Calcule os limites abaixo, se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as aproximações dessas funções próximas de zero. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, quando $ x $ está bem próximo de zero, podemos aproximar as funções seno e tangente usando as expansões em série de Taylor:
- $ \sin x \approx x $
- $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} \approx x + \frac{x^3}{3} $
Essas aproximações ajudam a simplificar nosso cálculo.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
Simplificando o denominador:
Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Simplificando essa fração:
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando $ x $ se aproxima de zero pela direita.
Passo 5
Quando $ x $ tende a zero pelo lado positivo ($ x \rightarrow 0^{+} $), $ x^2 $ também tende a zero, e como está no denominador, a fração $ \frac{3}{x^2} $ tende ao infinito positivo. Mas como há um sinal negativo na frente, o limite total tende a:
Resposta
O limite é $ -\infty $.