Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x +infty(1+kx)^x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular o limite
limxto+inftyl(1+kxr)^x
Esse é um clássico tipo de limite que envolve exponencial. Vamos usar logaritmo para facilitar.

Passo 2

Como a base 1+kx é positiva, podemos usar a propriedade de que, se f(x)>0, então
limxto af(x)=expl(limxto aln f(x)r)
Aplicando aqui:
limxto+inftyl(1+kxr)^x=expl(limxto+inftyxlnl(1+tfrackxr)r)
Agora o desafio é achar L=limxto+inftyxln(1+tfrackx).

Passo 3

Para calcular
L=limxto+inftyxlnl(1+kxr)
vamos reescrever em forma de quociente que dá 0/0:
L=limxto+inftylnl(1+tfrackxr)1/x
Isso está no tipo indeterminado 0/0, então aplicamos a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Derivando numerador e denominador em relação a x:
ddxlnl(1+kxr)=11+tfrackxcdotl(-kx^2r),
ddxl(1xr)=-1x^2
Então o limite das derivadas é
limxto+infty-tfrackx^2(1+k/x)-1/x^2=limxto+inftyk1+tfrackx=k
Portanto L=k.

Passo 5

Como L=k, voltamos à exponencial:
limxto+inftyl(1+kxr)^x=exp(L)=e^k

Resposta

e^{k}

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