Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x 0 sen x-xsenh x

Passo 1

O exercício pede para encontrar limxto0sin x - xsinh x. Vamos usar expansão em série de Taylor para funções hiperbólicas e trigonométricas, já que isso facilita lidar com indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Para funções próximas de x=0, as expansões de Taylor são:
sin x = x - x^36 + O(x^5),
sinh x = x + x^36 + O(x^5)
Isso decorre da definição de série de Maclaurin.

Passo 3

Substituindo essas expansões na expressão temos:
sin x - x = l(x - x^36 + O(x^5)r) - x = -x^36 + O(x^5),
sinh x = x + x^36 + O(x^5)
Logo a razão fica
sin x - xsinh x = -x^36 + O(x^5)x + x^36 + O(x^5)
Fatorando x no denominador resulta em
-x^36 + O(x^5)xl(1 + x^26 + O(x^4)r) = -x^26 + O(x^4)1 + x^26 + O(x^4)

Passo 4

Agora, quando xto0, o numerador -tfracx^26 + O(x^4) tende a zero e o denominador tende a 1. Portanto
limxto0sin x - xsinh x = 0

Resposta

0

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