Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x infty(x-raiz[3]x^3-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyl(x-raiz[3]x^3-xr). O conteúdo central aqui é cálculo de limites no infinito envolvendo raízes, e vamos precisar reescrever a raiz cúbica de forma fatorada e usar expansão de binômio (ou série de Taylor) para termos pequenos.

Passo 2

Observe que para x>0 podemos escrever
raiz[3]x^3 - x = xraiz[3]1 - 1x^2
Logo a expressão fica
x - raiz[3]x^3 - x = x - xraiz[3]1 - 1x^2 = xl[1 - raiz[3]1 - tfrac1x^2r]

Passo 3

Defina varepsilon=1/x^2, que tende a 0 quando xtoinfty. Para |varepsilon|<1 vale a expansão de Taylor
(1-varepsilon)^1/3 = 1 - 13varepsilon + O(varepsilon^2)
Substituindo na expressão acima:
1 - raiz[3]1 - tfrac1x^2 = 1 - l(1 - 13x^2 + O(tfrac1x^4)r) = 13x^2 + O(tfrac1x^4)
Multiplicando por x
xl[13x^2 + O(tfrac1x^4)r] = 13x + O(tfrac1x^3)to 0

Passo 4

Portanto, conforme xtoinfty, toda a expressão tende a zero.

Resposta

0

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