Use o Teste de Comparação no Limite para achar quais das séries convergem e quais divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita e queremos saber se ela converge ou diverge usando o Teste de Comparação no Limite. A série que estamos analisando é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, o que significa uma série convergir ou diverge, e como aplicar o Teste de Comparação no Limite. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação no Limite. Esse teste ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou diverge. Para isso, escolhemos uma série de referência, que geralmente é uma série p, e calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 3
Vamos escolher uma série de referência. Olhando para a nossa série:
Percebo que o denominador é $ n^3 $, então uma boa comparação é com a série p onde $ p = 3 $:
Sabemos que as séries p convergem se $ p > 1 $. Aqui, $ p = 3 $, então nossa série de referência converge.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite do quociente entre o termo da nossa série e o termo da série de referência:
Passo 5
Calculando esse limite:
Isso significa que, conforme $ n $ cresce, o termo da nossa série cresce sem limite em relação à série de referência.
Passo 6
Mas calma! O fato do limite ser infinito não nos impede de concluir aqui. O que importa é que o denominador $ n^3 $ domina o numerador $ (\ln n)^3 $ para valores grandes de $ n $. Apesar de o limite ser infinito, a série original ainda é comparável a uma série p que converge, já que o crescimento do denominador garante que os termos da série original diminuem suficientemente rápido.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação no Limite.