Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x 0^+ ln sen xln tg x

Passo 1

Na questão queremos encontrar . O conteúdo envolve limites de funções logarítmicas e trigonométricas e vamos usar a regra de l’Hôpital para resolver formas indeterminadas.

Passo 2

Observamos que, quando x to 0^+, tanto ln(sin x) quanto tendem a ln(tg x), gerando a forma indeterminada -infty. Assim podemos aplicar a regra de l’Hôpital, que diz que esse limite é igual ao limite da razão das derivadas, desde que exista.

Passo 3

Derivando numerador e denominador: ddx[ln(sin x)] = cot x e . Portanto, a razão das derivadas fica
ddx[ln(tg x)] = 1sin xcos x

Passo 4

Ao fazer xto0^+ em cos^2 x, obtemos cos^2(0)=1. Logo o limite original vale 1.

Resposta

1

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