Calcule os limites abaixo, se existirem.
(a) \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right).
(b) \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{3}}\right).
(c) \lim _{x \rightarrow 0}\left(x \cos \left(\frac{1}{x}\right)+a e^{2 x+2}\right), em que a \in \mathbb{R}.
(d) \lim _{x \rightarrow 0} \cos \left(\frac{1}{x}\right).
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites, quando x\to0, de funções que envolvem produtos de potências de x com funções oscilantes \cos ou \sin e, em parte, somar com uma exponencial. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) para os produtos, a linearidade do limite e a continuidade da exponencial, além de argumentar por sequências para o caso oscilante puro.
Passo 2
Para \lim_{x\to0}x^{2}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), note que