Calcule os limites abaixo, se existirem.
(a) \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right).
(b) \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{3}}\right).
(c) \lim _{x \rightarrow 0}\left(x \cos \left(\frac{1}{x}\right)+a e^{2 x+2}\right), em que a \in \mathbb{R}.
(d) \lim _{x \rightarrow 0} \cos \left(\frac{1}{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites, quando x\to0, de funções que envolvem produtos de potências de x com funções oscilantes \cos ou \sin e, em parte, somar com uma exponencial. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) para os produtos, a linearidade do limite e a continuidade da exponencial, além de argumentar por sequências para o caso oscilante puro.

Passo 2

Para \lim_{x\to0}x^{2}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), note que
\bigl|x^{2}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr|\le x^{2},
e como \lim_{x\to0}x^{2}=0, pelo Teorema do Confronto
\lim_{x\to0}x^{2}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.

Passo 3

Para \lim_{x\to0}x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{x^{3}}\bigr), temos
\bigl|x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)\bigr|\le |x|,
e como \lim_{x\to0}|x|=0, o Teorema do Confronto dá
\lim_{x\to0}x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)=0.

Passo 4

Para \lim_{x\to0}\bigl(x\cos(\tfrac{1}{x})+a e^{2x+2}\bigr), separamos em soma:
  1. Já vimos que \lim_{x\to0}x\cos(\tfrac{1}{x})=0.
  2. Como a exponencial é contínua,
\lim_{x\to0}e^{2x+2}=e^{2\cdot0+2}=e^{2}.
Pelo limite de soma e pela constante a,
\lim_{x\to0}\bigl(x\cos(\tfrac{1}{x})+a e^{2x+2}\bigr) =0 + a\,e^{2}=a\,e^{2}.

Passo 5

Para \lim_{x\to0}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), a função oscila entre -1 e 1 indefinidamente. Mais rigorosamente, considere as sequências
x_{n}=\frac{1}{2\pi n}\to0 \quad\text{e}\quad y_{n}=\frac{1}{(2n+1)\pi}\to0.
Então
\cos\bigl(\tfrac{1}{x_{n}}\bigr)=\cos(2\pi n)=1, \quad \cos\bigl(\tfrac{1}{y_{n}}\bigr)=\cos\bigl((2n+1)\pi\bigr)=-1.
Como há duas subsequências com limites distintos, o limite geral não existe.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) a\,e^{2}
(d) não existe

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