Questão 41)
Dado o Elipsóide E1:
((\mathrm{z}-1) / 4)^{\wedge} 2+(\mathrm{x} / 2)^{\wedge} 2+(\mathrm{y} / 3)^{\wedge} 2=2^{\wedge} 2
e o plano \pi:(z-1) / 4=1
Região R do elipsóide acima do plano.
Calcule a integral tripla:
■R [(x-1) / 2]^{\wedge} 2+[(y-2) / 3] \wedge 2+[(z-1) / 4] \wedge 2 dxdydz

Passo 1

O enunciado dá o elipsóide
\Bigl(\frac{z-1}{4}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{y}{3}\Bigr)^{2}\le2^{2}
e o plano
\pi:\;\frac{z-1}{4}=1\;\Longrightarrow\;z=5.
A região R é a parte do interior desse elipsóide que fica acima de z=5. Queremos
I=\iiint_{R}\Bigl[\Bigl(\tfrac{x-1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{y-2}{3}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{z-1}{4}\Bigr)^{2}\Bigr]\;dx\,dy\,dz.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável linear
u=\frac{x}{2},\quad v=\frac{y}{3},\quad w=\frac{z-1}{4}
que envia o elipsóide em \;u^{2}+v^{2}+w^{2}\le4;e o plano em w=1. O jacobiano vale
\Bigl|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\Bigr|=2\cdot3\cdot4=24.
Além disso
\frac{x-1}{2}=u-\tfrac12,\quad \frac{y-2}{3}=v-\tfrac23,\quad \frac{z-1}{4}=w,
de modo que
I=24\!\iint\!\!\!\!\!\int_{\substack{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le4\w\ge1}} \Bigl[(u-\tfrac12)^{2}+(v-\tfrac23)^{2}+w^{2}\Bigr]\,du\,dv\,dw.

Passo 3

Expandindo o integrando:
(u-\tfrac12)^{2}+(v-\tfrac23)^{2}+w^{2} = u^{2}+v^{2}+w^{2}-u-\tfrac{4}{3}v+\tfrac{25}{36}.
Por simetria em \theta (ou seja, integração sobre um “cap” esférico), \displaystyle\iint u\,dV=0 e \iint v\,dV=0. Assim
I=24\Bigl[I_{1}+\tfrac{25}{36}I_{\text{vol}}\Bigr],
onde
I_{1}=\iiint_{\substack{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le4\w\ge1}}\!(u^{2}+v^{2}+w^{2})\,dV, \quad I_{\text{vol}}=\iiint_{\substack{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le4\w\ge1}}1\,dV.

Passo 4

Para I_{1} usamos coordenadas esféricas em (u,v,w):
u=\rho\sin\varphi\cos\theta,\; v=\rho\sin\varphi\sin\theta,\; w=\rho\cos\varphi, \quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
A condição w\ge1 \rho\cos\varphi\ge1\Rightarrow \rho\ge1/\cos\varphi, e o “cap” vai de \varphi=0 até \varphi=\operatorname{arccos}(1/2)=\pi/3. Assim
I_{1} =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/3}\!\!\int_{1/\cos\varphi}^{2} \rho^{2}\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\!\int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\!\int_{1/\cos\varphi}^{2}\rho^{4}d\rho\,d\varphi.
Calcula-se
\int_{1/\cos\varphi}^{2}\rho^{4}d\rho =\frac{2^{5}}{5}-\frac{1}{5\cos^{5}\varphi},
e avaliando os termos resulta
I_{1} =\frac{49\pi}{10}.

Passo 5

O volume do “cap” de esfera de raio 2 e altura h=2-1=1 é
I_{\text{vol}} =\frac{\pi h^{2}(3R-h)}{3} =\frac{\pi\cdot1^{2}(6-1)}{3} =\frac{5\pi}{3}.

Passo 6

Substituindo em
I=24\Bigl[I_{1}+\tfrac{25}{36}I_{\text{vol}}\Bigr] =24\Bigl[\tfrac{49\pi}{10}+\tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{5\pi}{3}\Bigr]
obtemos
I =\Bigl(\frac{588}{5}+\frac{250}{9}\Bigr)\pi =\frac{6542}{45}\,\pi.

Resposta

\iiint_{R}\Bigl[\Bigl(\tfrac{x-1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{y-2}{3}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{z-1}{4}\Bigr)^{2}\Bigr]dx\,dy\,dz =\frac{6542}{45}\,\pi.

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