Questão 41)
Dado o Elipsóide E1:
e o plano
Região R do elipsóide acima do plano.
Calcule a integral tripla:
■R
dxdydz
Dado o Elipsóide E1:
e o plano
Passo 1
O enunciado dá o elipsóide
e o plano
A região
é a parte do interior desse elipsóide que fica acima de
. Queremos
Passo 2
Fazemos a mudança de variável linear
que envia o elipsóide em
;e o plano em
. O jacobiano vale
Além disso
de modo que
Passo 3
Expandindo o integrando:
Por simetria em
(ou seja, integração sobre um “cap” esférico),
e
. Assim
onde
Passo 4
Para
usamos coordenadas esféricas em
:
A condição
dá
, e o “cap” vai de
até
. Assim
Calcula-se
e avaliando os termos resulta
Passo 5
O volume do “cap” de esfera de raio
e altura
é
Passo 6
Substituindo em
obtemos