Seja f uma função que satisfaz 2+6 x \leqslant f(x) \leqslant 11+9 x, para todo x>-3. Determine \lim _{x \rightarrow-3} f(x).

Passo 1

O enunciado diz que, para todo x>-3, vale
2 + 6x \;\leqslant\; f(x) \;\leqslant\; 11 + 9x.
Queremos \lim_{x\to -3}f(x). O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): se duas funções que “apertam” f têm o mesmo limite num ponto, então f tem esse limite também.

Passo 2

Calculamos o limite da função inferior g(x)=2+6x quando x\to -3:
\lim_{x\to -3}\bigl(2+6x\bigr) =2+6\cdot(-3) =2-18 =-16.

Passo 3

Calculamos o limite da função superior h(x)=11+9x quando x\to -3:
\lim_{x\to -3}\bigl(11+9x\bigr) =11+9\cdot(-3) =11-27 =-16.

Passo 4

Como para todo x>-3 temos
2+6x \leqslant f(x)\leqslant 11+9x
e tanto \lim_{x\to -3}(2+6x) quanto \lim_{x\to -3}(11+9x) são iguais a -16, o Teorema do Confronto garante
\lim_{x\to -3}f(x)=-16.

Resposta

-16

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