Calcule os limites abaixo, se existirem.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de $ x^{2} \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente estudando limites. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno, $ \sin(\theta) $, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso vale para qualquer valor de $ \theta $, então mesmo quando $ \theta = \frac{1}{x} $.
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a desigualdade por $ x^{2} $. Como $ x^{2} $ é sempre positivo (independente de $ x $ ser positivo ou negativo), a direção das desigualdades não muda:
Passo 4
Sabemos que quando $ x $ se aproxima de 0, tanto $ -x^{2} $ quanto $ x^{2} $ se aproximam de 0. Ou seja:
Passo 5
Por causa desse comportamento, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função intermediária também é esse valor.
Aqui, $ x^{2} \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ está sempre entre $ -x^{2} $ e $ x^{2} $, e ambos têm limite 0 quando $ x $ se aproxima de 0.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.