Calcule os limites abaixo, se existirem.
lim x 0 x^2 sen(1x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de $ x^{2} \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente estudando limites. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, $ \sin(\theta) $, sempre está entre -1 e 1, ou seja:
sin(theta)
Isso vale para qualquer valor de $ \theta $, então mesmo quando $ \theta = \frac{1}{x} $.

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a desigualdade por $ x^{2} $. Como $ x^{2} $ é sempre positivo (independente de $ x $ ser positivo ou negativo), a direção das desigualdades não muda:
x^2

Passo 4

Sabemos que quando $ x $ se aproxima de 0, tanto $ -x^{2} $ quanto $ x^{2} $ se aproximam de 0. Ou seja:
x

Passo 5

Por causa desse comportamento, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função intermediária também é esse valor.
Aqui, $ x^{2} \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ está sempre entre $ -x^{2} $ e $ x^{2} $, e ambos têm limite 0 quando $ x $ se aproxima de 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que:
limx to 0 x^2 sin(1x) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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