Calcule os limites abaixo.
(f) lim x infty(x^2+1)^1ln x

Passo 1

A gente quer encontrar o limite limx to infty(x^2+1)^1/ln x. O conteúdo é limites de forma indeterminada do tipo infty^0 e vamos precisar usar logaritmo e exponencial para resolver.

Passo 2

Quando x to infty, temos x^2+1 to infty e 1/ln x to 0, caracterizando a forma infty^0. Para lidar com isso, definimos y=(x^2+1)^1/ln x e aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural, obtemos
ln y = ln(x^2+1)ln x
Para calcular limxtoinfty ln y, usamos a identidade
ln(x^2+1) = 2ln x + lnl(1+1/x^2r)
Logo,
ln y = 2ln x + ln(1+1/x^2)ln x = 2 + ln(1+1/x^2)ln x
Como ln(1+1/x^2)to 0 e ln xtoinfty, o segundo termo tende a zero, então limxtoinfty ln y = 2.

Passo 4

Voltando de ln y para y, usamos que y = e^ln y. Portanto
limxtoinftyy = e^2

Resposta

e^2

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