Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
, onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-a^a cos(x)1+x^2 dx, onde a > 0. O conteúdo que vamos usar aqui é o de propriedades de simetria em integrais. Para resolver, vamos identificar se a função dentro da integral é par ou ímpar e usar isso a nosso favor.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função cos(x)1+x^2 é par ou ímpar.
  • Uma função f(x) é par se f(-x) = f(x).
  • É ímpar se f(-x) = -f(x).
Vamos testar:
f(-x) = cos(-x)1+(-x)^2 = cos(x)1+x^2 = f(x)
Como f(-x) = f(x), a função é par.

Passo 3

Quando temos uma função par integrada de -a a a, podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de 0 a a:
integral-a^a cos(x)1+x^2 dx = 2 integral0^a cos(x)1+x^2 dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral0^a cos(x)1+x^2 dx. Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a Função Integral Cosseno, denotada por Ci(x). A relação é:
integral cos(x)1+x^2 dx = pi2 e^-x [Ci(x) sin(x) + Si(x) cos(x)]
onde Si(x) é a Função Integral Seno.

Resposta

Portanto, a solução da integral definida é:
integral-a^a cos(x)1+x^2 dx = pi e^-a [Ci(a) sin(a) + Si(a) cos(a)]

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