Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{1-\cos x}{x^{2}+x}.
Informações dadas:
  • A variável vai para 0.
  • A função é a razão entre 1-\cos x (no numerador) e x^{2}+x (no denominador).
Objetivo: encontrar o valor numérico do limite e justificar cada passo.

Passo 2

Primeiro, faça uma manipulação algébrica simples que facilita o uso de limites conhecidos: fatorar o denominador por x. Assim,
x^{2}+x = x(x+1),
e a expressão passa a ser um produto de duas frações:
\frac{1-\cos x}{x^{2}+x} = \frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x+1}.
Essa escrita é útil porque permite estudar separadamente os limites de cada fator.

Passo 3

Calcular o limite do primeiro fator \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}.
Use a identidade trigonométrica
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo,
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2}.
Agora usa-se o limite trigonométrico clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Breve justificativa desse limite (esqueça a fórmula pronta: é muito útil saber por quê): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale \sin t < t < \tan t. Dividindo por \sin t obtém-se 1 < \dfrac{t}{\sin t} < \dfrac{1}{\cos t}. Tomando recíprocos e lembrando que \cos t\to 1 quando t\to 0, conclui-se que \dfrac{\sin t}{t}\to 1. O caso t<0 segue pela paridade de \dfrac{\sin t}{t}.
Aplicando isso com t=\dfrac{x}{2} obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^{2} = \frac{1}{2}\cdot 1^{2} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular o limite do segundo fator \dfrac{x}{x+1}.
Aqui é direto: quando x\to 0 tem-se x\to 0 e x+1\to 1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x}{x+1} = \frac{0}{1} = 0.

Passo 5

Combinar os limites dos dois fatores.
Como os dois limites existem (o primeiro é finito, o segundo é 0), pode-se usar a propriedade do limite do produto:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x+1}\right) = \left(\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{x+1}\right).
Substituindo os valores obtidos nos passos anteriores:
\frac{1}{2}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Conclusão final: o limite pedido é 0. Força aí nos estudos — esse tipo de limite aparece muito e decorar a identidade 1-\cos x=2\sin^2(x/2) e o limite \sin t/t\to 1 vai salvar tempo na prova!

Resposta

0

Exercícios relacionados