Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é a função f(x)=e^{x}-1-x-\dfrac{x^{2}}{2}.
  • O denominador é a função g(x)=x^{3}.
  • O ponto de interesse é x=0.

Passo 2

Verificar o tipo de forma indeterminada ao substituir x=0. Calculando os valores em x=0:
f(0)=e^{0}-1-0-\frac{0^{2}}{2}=1-1=0,
g(0)=0^{3}=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Essa é a situação clássica em que a regra de L’Hôpital pode ser usada (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).

Passo 3

Enunciado da regra de L’Hôpital (versão usada): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0), e \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}g(x)=0, então, se existir o limite \lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}, vale
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui as hipóteses estão satisfeitas porque e^{x} e polinômios são infinitamente diferenciáveis num entorno de 0. Assim podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Primeira aplicação de L’Hôpital: calcular as derivadas primeira do numerador e do denominador.
Derivando f(x) e g(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1-x-\tfrac{x^{2}}{2}\big)=e^{x}-1-x,
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Verificar a nova forma ao tender x\to 0:
f'(0)=e^{0}-1-0=0,\qquad g'(0)=3\cdot 0^{2}=0.
Ainda é \dfrac{0}{0}, então aplicamos L’Hôpital novamente.

Passo 5

Segunda aplicação de L’Hôpital: derivar novamente.
Derivadas de segunda ordem:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1-x\big)=e^{x}-1,
g''(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=6x.
Avaliar em x=0:
f''(0)=e^{0}-1=0,\qquad g''(0)=6\cdot 0=0.
Ainda dá \dfrac{0}{0}. Aplicamos L’Hôpital uma terceira vez.

Passo 6

Terceira aplicação de L’Hôpital: derivadas de terceira ordem.
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1\big)=e^{x},
g^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(6x\big)=6.
Agora avaliar em x=0:
f^{(3)}(0)=e^{0}=1,\qquad g^{(3)}(0)=6.
Como o limite das derivadas existe e é finito, pela regra de L’Hôpital aplicada sucessivamente:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)}=\frac{f^{(3)}(0)}{g^{(3)}(0)}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Comentário didático curto (intuição alternativa): usando a expansão em série de Taylor de e^{x} em torno de 0,
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}),
logo o numerador \,e^{x}-1-x-\tfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{x^{3}}{6}+o(x^{3}), e dividindo por x^{3} obtemos novamente \dfrac{1}{6}. Isso confirma o resultado e dá uma visão mais direta pela série.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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