Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é a função
. - O denominador é a função
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Verificar o tipo de forma indeterminada ao substituir
. Calculando os valores em
:
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Essa é a situação clássica em que a regra de L’Hôpital pode ser usada (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).
Passo 3
Enunciado da regra de L’Hôpital (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
, então, se existir o limite
, vale
Aqui as hipóteses estão satisfeitas porque
e polinômios são infinitamente diferenciáveis num entorno de
. Assim podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Primeira aplicação de L’Hôpital: calcular as derivadas primeira do numerador e do denominador.
Derivando e
:
Derivando
Verificar a nova forma ao tender
:
Ainda é
, então aplicamos L’Hôpital novamente.
Passo 5
Segunda aplicação de L’Hôpital: derivar novamente.
Derivadas de segunda ordem:
Derivadas de segunda ordem:
Avaliar em
:
Ainda dá
. Aplicamos L’Hôpital uma terceira vez.
Passo 6
Terceira aplicação de L’Hôpital: derivadas de terceira ordem.
Agora avaliar em
:
Como o limite das derivadas existe e é finito, pela regra de L’Hôpital aplicada sucessivamente:
Passo 7
Comentário didático curto (intuição alternativa): usando a expansão em série de Taylor de
em torno de
,
logo o numerador
, e dividindo por
obtemos novamente
. Isso confirma o resultado e dá uma visão mais direta pela série.