Calcule os limites abaixo, justificando as passagens quando necessário:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
tende para pela direita ( ). - A expressão a estudar é
. - Não há outras restrições; queremos o valor numérico desse limite.
Passo 2
Para entender o comportamento quando
é conveniente trocar a variável. Faça a substituição
Explicando: quando
temos
. Essa mudança costuma simplificar expressões com
.
Passo 3
Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto
Assim o limite original passa a ser
Passo 4
Reescrevemos
como quociente para aplicar um critério clássico:
Quando
temos
e
, ou seja, a expressão
é do tipo indeterminado
. Isso permite o uso da Regra de L’Hôpital (quando aplicável).
Passo 5
Recordando a Regra de L’Hôpital (forma usada aqui): se
e
são diferenciáveis em algum intervalo
e
, então, se o limite
existe (ou é
), vale
Aqui podemos tomar
e
. Ambas são diferenciáveis em
e tendem a
quando
, e
não é zero. Logo as hipóteses da regra estão satisfeitas.
Passo 6
Aplicando L’Hôpital:
Passo 7
Avalie
. Como
quando
, o quociente
tende a
. Portanto
Passo 8
Voltando à variável original, concluímos que
Intuitivamente: a função exponencial decai (ou cresce) muito mais rápido que qualquer potência polinomial, por isso
vai a zero muito mais rápido do que
vai a zero — o quociente tende a zero. Força aí, você tá conseguindo!