Calcule os limites abaixo, justificando as passagens quando necessário:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1 / x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{-1/x}}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x>0).
  • A expressão a estudar é \dfrac{e^{-1/x}}{x}.
  • Não há outras restrições; queremos o valor numérico desse limite.

Passo 2

Para entender o comportamento quando x\to 0^{+} é conveniente trocar a variável. Faça a substituição
t=\frac{1}{x}.
Explicando: quando x\to 0^{+} temos t=\dfrac{1}{x}\to +\infty. Essa mudança costuma simplificar expressões com 1/x.

Passo 3

Reescrevendo a expressão em função de t:
x=\frac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad e^{-1/x}=e^{-t}.
Portanto
\frac{e^{-1/x}}{x}=\frac{e^{-t}}{1/t}=t\,e^{-t}.
Assim o limite original passa a ser
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{-1/x}}{x}=\lim_{t\to +\infty} t\,e^{-t}.

Passo 4

Reescrevemos t\,e^{-t} como quociente para aplicar um critério clássico:
t\,e^{-t}=\frac{t}{e^{t}}.
Quando t\to+\infty temos t\to+\infty e e^{t}\to+\infty, ou seja, a expressão \dfrac{t}{e^{t}} é do tipo indeterminado \infty/\infty. Isso permite o uso da Regra de L’Hôpital (quando aplicável).

Passo 5

Recordando a Regra de L’Hôpital (forma usada aqui): se f(t) e g(t) são diferenciáveis em algum intervalo (A,+\infty) e \lim_{t\to+\infty} f(t)=\lim_{t\to+\infty} g(t)=+\infty, então, se o limite \lim_{t\to+\infty} \dfrac{f'(t)}{g'(t)} existe (ou é \pm\infty), vale
\lim_{t\to+\infty} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to+\infty} \frac{f'(t)}{g'(t)}.
Aqui podemos tomar f(t)=t e g(t)=e^{t}. Ambas são diferenciáveis em (0,+\infty) e tendem a +\infty quando t\to+\infty, e g'(t)=e^{t} não é zero. Logo as hipóteses da regra estão satisfeitas.

Passo 6

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{t}}=\lim_{t\to+\infty}\frac{d}{dt}(t)\Big/\frac{d}{dt}(e^{t}) =\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{e^{t}}.

Passo 7

Avalie \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{e^{t}}. Como e^{t}\to+\infty quando t\to+\infty, o quociente \dfrac{1}{e^{t}} tende a 0. Portanto
\lim_{t\to+\infty} t\,e^{-t}=0.

Passo 8

Voltando à variável original, concluímos que
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{-1/x}}{x}=0.
Intuitivamente: a função exponencial decai (ou cresce) muito mais rápido que qualquer potência polinomial, por isso e^{-1/x} vai a zero muito mais rápido do que x vai a zero — o quociente tende a zero. Força aí, você tá conseguindo!

Resposta

0

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