Resolva as integrais:
integral x^2 arctg(x) d x

Passo 1

O problema é calcular integral x^2 arctg(x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de uma função algébrica x^2 com a função inversa do tangente arctg(x). Para resolver, vamos usar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Na integração por partes, escolhemos u como a parte que fica mais fácil ao derivar, e dv como a parte que fica fácil de integrar. Aqui definimos
u = arctg(x), dv = x^2,dx

Passo 3

Precisamos então de du e v. Derivando u:
du = 11 + x^2,dx
Integrando dv:
v = integral x^2,dx = x^33

Passo 4

Aplicando a fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du,
obtém-se
integral x^2arctg(x),dx = x^33arctg(x) - integral x^33cdot11 + x^2,dx

Passo 5

Fatoramos 1/3 e simplificamos o integrando:
integral x^31+x^2,dx = integral l(x - x1+x^2r),dx,
pois
x^31+x^2 = x - x1+x^2

Passo 6

Agora separamos em duas integrais simples:
integral x,dx = x^22,
integral x1+x^2,dx = 12lnl(1+x^2r)

Passo 7

Substituindo de volta e simplificando:
integral x^2arctg(x),dx = x^33arctg(x) - 13l(x^22 - 12ln(1+x^2)r) + C
Distribuindo os fatores:
x^33arctg(x) - x^26 + 16ln(1+x^2) + C

Resposta

x^33arctg(x) - x^26 + 16ln(1+x^2) + C

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