Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
, que é uma forma do tipo
. Para resolver, vamos usar uma técnica de racionalização.
Passo 2
Multiplicamos a expressão por sua conjugada para eliminar a indeterminação:
[
\sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x2+x}-x)(\sqrt{x2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x^2+x - x2}{\sqrt{x2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.
\sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x2+x}-x)(\sqrt{x2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x^2+x - x2}{\sqrt{x2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.
Passo 3
Para simplificar ainda mais, dividimos numerador e denominador por
:
[
\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+1/x}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}.
\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+1/x}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}.
Passo 4
Agora basta avaliar o limite quando
. Como
, temos
. Logo: