Calcule os limites abaixo.
(l) lim x +infty(raizx^2+x-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+infty(raizx^2+x-x), que é uma forma do tipo infty-infty. Para resolver, vamos usar uma técnica de racionalização.

Passo 2

Multiplicamos a expressão por sua conjugada para eliminar a indeterminação:
[
\sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x2+x}-x)(\sqrt{x2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x^2+x - x2}{\sqrt{x2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.

Passo 3

Para simplificar ainda mais, dividimos numerador e denominador por x:
[
\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+1/x}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite quando xto+infty. Como 1/xto0, temos raiz1+1/xto1. Logo:
limxto+infty1raiz1+1/x+1 = 11+1 = 12

Resposta

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