(b) ointC[(x y+z) d x+(x-y) d y+4 z d z]
C: gamma(t)=(sin t, cos t, pi), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva fechada C dada por gamma(t)=(sin t,cos t,pi) para tin[0,2pi]. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial via parametrização e vamos precisar da expressão de dx,dy,dz e de substituir na integral.

Passo 2

Parametrizamos: x=sin t, y=cos t, z=pi. Logo:
dx=cos t,dt, dy=-sin t,dt, dz=0

Passo 3

Substituímos na integral
ointC[(xy+z),dx+(x-y),dy+4z,dz]=integral0^2pil[(sin tcos t+pi)cos t+(sin t-cos t)(-sin t)+4picdot0r]dt

Passo 4

Simplificamos o integrando:
f(t)=sin tcos^2t+picos t-sin^2t+sin tcos t

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a 2pi:
  1. integralsin tcos^2t,dt= -tfraccos^3t3|0^2pi=0
  2. integralsin tcos t,dt= -tfrac14cos2t|0^2pi=0
  3. integral -sin^2t,dt= -l(tfract2-tfracsin2t4r)|0^2pi=-pi
  4. integralpicos t,dt=pisin t|0^2pi=0

Passo 6

Somando os resultados dá -pi.

Resposta

-\pi

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