Calcule os limites abaixo:
lim x 1 x^3-6 x^2+9 x-4x^3-5 x^2+7 x-3

Passo 1

O enunciado pede
limxto1x^3-6x^2+9x-4x^3-5x^2+7x-3
Ao substituir x=1 tanto o numerador como o denominador valem zero, então temos a forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios pelo teorema do resto (divisão sintética) para extrair o fator (x-1).

Passo 2

Fatorando o numerador x^3-6x^2+9x-4 por divisão sintética em x=1:
Coeficientes: 1,,-6,,9,,-4.
Dividindo por (x-1) obtemos resto zero e quociente x^2-5x+4.
Logo,
x^3-6x^2+9x-4=(x-1)(x^2-5x+4)
E x^2-5x+4 se fatora como (x-1)(x-4).
Portanto
x^3-6x^2+9x-4=(x-1)^2(x-4)

Passo 3

De modo análogo, fatoramos o denominador x^3-5x^2+7x-3 por divisão sintética em x=1:
Coeficientes: 1,,-5,,7,,-3.
Divisão por (x-1) dá quociente x^2-4x+3 e resto zero.
Logo,
x^3-5x^2+7x-3=(x-1)(x^2-4x+3)
E x^2-4x+3=(x-1)(x-3).
Portanto
x^3-5x^2+7x-3=(x-1)^2(x-3)

Passo 4

Substituindo as fatorações no limite temos
limxto1(x-1)^2(x-4)(x-1)^2(x-3) =limxto1x-4x-3
Agora o fator (x-1)^2 cancelou e restou uma função contínua em x=1. Basta substituir:
1-41-3=-3-2=32

Resposta

32

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