Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime-4 y^prime+5 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 5y = 0, y(0)=1, y'(0)=3
O conteúdo é aplicação da transformada de Laplace a derivadas e uso das fórmulas inversas para obter y(t).

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace de cada termo, lembrando que
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'(s)=sY(s)-y(0), Ly(s)=Y(s)
Aplicando em
y'' - 4y' + 5y = 0
vem
l(s^2Y(s)-scdot1-3r)-4l(sY(s)-1r)+5Y(s)=0

Passo 3

Reescrevendo e agrupando em Y(s):
s^2Y(s)-s-3 -4sY(s)+4 +5Y(s)=0 Longrightarrow l(s^2-4s+5r)Y(s)+(-s+1)=0
Logo
Y(s)=s-1s^2-4s+5

Passo 4

Completo o quadrado no denominador e separo em duas frações que conhecemos a inversa:
s^2-4s+5=(s-2)^2+1, s-1=(s-2)+1
Então
Y(s) =(s-2)+1(s-2)^2+1 =s-2(s-2)^2+1+1(s-2)^2+1

Passo 5

Usando as fórmulas
L^-1!ls-2(s-2)^2+1r=e^2tcos t, L^-1!l1(s-2)^2+1r=e^2tsin t,
concluímos
y(t)=e^2tcos t+e^2tsin t

Resposta

y(t)=e^2t(cos t+sin t)

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