Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime-3 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com condições iniciais
y'' + 2y' - 3y = 0, y(0)=0, y'(0)=4
usando a transformada de Laplace. Vamos traduzir cada termo em função de Y(s)=Ly(t) e, em seguida, inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace termo a termo. Usando
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'(t)=s,Y(s)-y(0), Ly(t)=Y(s),
e substituindo y(0)=0 e y'(0)=4, obtemos
Ly''+2Ly'-3Ly =(s^2Y(s)-4)+2l(sY(s)-0r)-3Y(s)=0

Passo 3

Reunindo termos em Y(s), vem
s^2Y(s)-4+2s,Y(s)-3Y(s)=0 Longrightarrow Y(s)l(s^2+2s-3r)=4 Longrightarrow Y(s)=4s^2+2s-3

Passo 4

Fatoramos o denominador e fazemos frações parciais. Como
s^2+2s-3=(s-1)(s+3),
procuramos constantes A,B tais que
4(s-1)(s+3)=As-1+Bs+3
Multiplicando por (s-1)(s+3)
4=A(s+3)+B(s-1)
Escolhendo s=1 obtém-se 4=4ARightarrow A=1; escolhendo s=-3 obtém-se 4=-4BRightarrow B=-1. Logo
Y(s)=1s-1-1s+3

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa de Laplace term-a-term:
L^-1ltfrac1s-1r=e^t, L^-1ltfrac1s+3r=e^-3t
Portanto
y(t)=e^t-e^-3t

Resposta

y(t)=e^t-e^-3t

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