Empregando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime-2 y^prime-2 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 2y = 0, y(0)=0,;y'(0)=3
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é resolução de EDO linear homogênea de segunda ordem com condições iniciais; vamos aplicar Lcdot e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Denotando Y(s)=Ly(t), usamos
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).
Aplicando L na EDO:
l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r);-;2l(sY(s)-y(0)r);-;2Y(s);=;0

Passo 3

Substituindo y(0)=0 e y'(0)=3 na equação do passo anterior, obtemos
s^2Y(s)-3 ;-;2sY(s);-;2Y(s)=0 Longrightarrow l(s^2-2s-2r),Y(s)=3
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Y(s)=3s^2-2s-2

Passo 4

Reescrevemos o denominador completando quadrado:
s^2-2s-2=(s-1)^2-3=(s-1)^2-(raiz3)^2
Assim
Y(s)=3(s-1)^2-(raiz3)^2 =32raiz3l(1s-1-raiz3-1s-1+raiz3r)
Invertendo pelo teorema do deslocamento e pela transformada de sinh, chega-se a
y(t)=32raiz3l(e^(1+raiz3)t-e^(1-raiz3)tr) =e^t,raiz3,sinhl(raiz3,tr)

Resposta

y(t)=e^t,raiz3,sinhl(raiz3,tr)

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