Calcule os limites abaixo:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{h^{2}+9}-3}{h^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h^{2}+9}-3}{h^{2}}.
Este é um problema de limite que, ao substituir h=0, gera a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do numerador para eliminar a raiz.

Passo 2

Verificando a substituição direta em h=0:
o numerador fica \sqrt{0^{2}+9}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0 e o denominador fica 0^{2}=0.
Logo, temos indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para remover a raiz do numerador, multiplicamos e dividimos pelo conjugado \sqrt{h^{2}+9}+3:
\frac{\sqrt{h^{2}+9}-3}{h^{2}}\cdot\frac{\sqrt{h^{2}+9}+3}{\sqrt{h^{2}+9}+3} =\frac{(\sqrt{h^{2}+9})^{2}-3^{2}}{h^{2}\bigl(\sqrt{h^{2}+9}+3\bigr)} =\frac{h^{2}}{h^{2}\bigl(\sqrt{h^{2}+9}+3\bigr)}.

Passo 4

Cancelando o fator h^{2} no numerador e no denominador, obtemos a expressão equivalente
\frac{1}{\sqrt{h^{2}+9}+3}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite de h\to0 na expressão simplificada:
\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{h^{2}+9}+3} =\frac{1}{\sqrt{0+9}+3} =\frac{1}{3+3} =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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