Para as questões de 1 a 3 considere a seguinte tabela de classificações dos filmes X-men e Batman pelos usuários Bia, Bob e Ted. Cada par ordenado de gostos será considerado um par ordenado do espaço vetorial mathbb{R}^{2}.
Nome X-men Batman
Bia 1 3
Bob 4 5
Ted 5 2
Questão 2 Como medida de similaridade entre gostos de u e v, considere
d(u, v)=1-\cos (\angle(u, v))
Considere o angulo dado pelo produto interno usual de mathbb{R}^{2}. Sabendo que Gil deu nota 1 para X-men e 1 para Batman.
(a) Qual(quais) dos usuários na tabela tem gostos mais similares a Gil?
(b) Qual(quais) dos usuários na tabela tem gostos menos similares a Gil?

Passo 1

O enunciado dá as notas de Bia, Bob e Ted para os filmes X-men e Batman, formando vetores em \mathbb{R}^2, e pede para medir similaridade entre cada um desses vetores e o vetor de Gil, que é (1,1), usando
d(u,v)=1-\cos(\angle(u,v))
com o produto interno e a norma usuais em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Representamos: \displaystyle G=(1,1), \displaystyle Bia=(1,3), \displaystyle Bob=(4,5), \displaystyle Ted=(5,2).
Lembrando que para vetores u e v vale
u\cdot v = x_u x_v + y_u y_v, \quad \|u\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2}, \quad \cos(\angle(u,v)) = \frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|},
e então
d(u,v)=1-\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}.

Passo 3

Calcular d(G,\,\cdot) para cada usuário:
Para Bia:
G\cdot Bia = 1\cdot1 + 1\cdot3 = 4, \quad \|G\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2, \quad \|Bia\| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10},
\cos(\angle(G,Bia)) = \frac{4}{\sqrt2\,\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt5}\approx0,8944, \quad d(G,Bia) \approx 1-0,8944 = 0,1056.
Para Bob:
G\cdot Bob = 1\cdot4 + 1\cdot5 = 9, \quad \|Bob\| = \sqrt{4^2+5^2} = \sqrt{41},
\cos(\angle(G,Bob)) = \frac{9}{\sqrt2\,\sqrt{41}} = \frac{9}{\sqrt{82}}\approx0,9939, \quad d(G,Bob) \approx 1-0,9939 = 0,0061.
Para Ted:
G\cdot Ted = 1\cdot5 + 1\cdot2 = 7, \quad \|Ted\| = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{29},
\cos(\angle(G,Ted)) = \frac{7}{\sqrt2\,\sqrt{29}} = \frac{7}{\sqrt{58}}\approx0,9191, \quad d(G,Ted) \approx 1-0,9191 = 0,0809.

Passo 4

Comparando d(G,Bia)\approx0,1056, d(G,Bob)\approx0,0061 e d(G,Ted)\approx0,0809:
o menor valor de d (mais similar) é para Bob;
o maior valor de d (menos similar) é para Bia.

Resposta

(a) Bob
(b) Bia

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