( \mathbf{0 , 7 5} ponto) Encontre \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4 x^{2}+1}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x+1}.
O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo infinitos e raízes quadradas. Para resolver, vamos usar o fato de que, para x grande em módulo, o termo de maior grau domina e podemos fatorar x^{2} dentro da raiz.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^{2}:
\sqrt{4x^{2}+1} =\sqrt{x^{2}\Bigl(4+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)} =|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Como x\to-\infty, temos |x|=-x. Logo
\sqrt{4x^{2}+1} =-x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Substituindo no quociente, fica
\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x+1} =\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)} =-\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite de cada fator:
\lim_{x\to-\infty}\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}=2, \quad \lim_{x\to-\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)=1.
Portanto
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x+1} =-\frac{2}{1}=-2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados