Calcule os limites abaixo.
(2.1) lim x +infty(2-1x+4x^2)
(2.2) lim x -infty 4 x^3-2 x^2+13 x^3-5
(2.3) lim x +infty x+1x
(2.4) lim x -infty x+1x
(2.5) lim x -infty x^2+x-12 x+5
(2.6) lim x +infty x-2raiz2+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limites no infinito de seis expressões diferentes, focando em funções polinomiais, racionais e com raiz. O conteúdo envolvido é limites no infinito e vamos usar a ideia de termo de maior grau (ou comportamento assintótico) e propriedades básicas de limites.

Passo 2

Para (2.1) note que 1xto0 e 4x^2to0 quando xto+infty. Logo,
2 - 1x + 4x^2 ;longrightarrow; 2 - 0 + 0 = 2

Passo 3

Para (2.2) dividimos numerador e denominador por x^3, que é o termo de maior grau. Assim,
4x^3 - 2x^2 + 13x^3 - 5 = 4 - 2x + 1x^33 - 5x^3

Passo 4

Quando xto-infty, os termos 2x,1x^3,5x^3 tendem a zero, ficando
4 - 0 + 03 - 0 = 43

Passo 5

Para (2.3) escrevemos
x+1x = 1 + 1x
Como 1xto0 quando xto+infty, o limite é
1 + 0 = 1

Passo 6

Para (2.4) a mesma manipulação vale para xto-infty:
x+1x = 1 + 1x longrightarrow 1 + 0 = 1

Passo 7

Para (2.5) o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1. Para grandes |x| dominam os termos de maior grau, isto é, x^2 e 2x. Logo
x^2 + x - 12x + 5 sim x^22x = x2
Quando xto-infty, x2to -infty. Portanto o limite é -infty.

Passo 8

Para (2.6) temos raiz no denominador. Escrevemos
x-2raizx+2 = xl(1 - tfrac2xr)raizxraiz1 + tfrac2x = raizx,1 - tfrac2xraiz1 + tfrac2x

Passo 9

Como xto+infty, 1 - tfrac2xto1 e raiz1 + tfrac2xto1, fica
raizxtimes1 = raizx longrightarrow +infty

Resposta

(2.1) = 2; (2.2) = tfrac43; (2.3) = 1; (2.4) = 1; (2.5) = -infty; (2.6) = +infty.

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