De modo geral, problemas abordados no curso tem a forma f=[K]d, onde f é uma matriz que indica uma ação externa no sistema, d indica como o sistema reage a esta ação e
[K] é uma matriz constante de proporcionalidade, que indica quão suscetível ou não o sistema é à influência de {f}.
Discuta como a equação secular (matricial) abaixo pode ser resolvida, se são conhecidos os termos da matriz K, os termos dE e fF são conhecidos e dF e fE são as incógnitas para as quais se quer resolver o problema.
[cc KE & KE F KE F^T & KF ]l bardE dF =l barfE fF

Passo 1

O enunciado dá uma equação matricial do tipo [K]d=f particionada em blocos, onde conhecemos a matriz [K], o subvetor de deslocamentos bar dE e o subvetor de forças fF, e queremos encontrar o subvetor de deslocamentos dF e o subvetor de forças bar fE. Isso envolve teoria de eliminação por blocos em sistemas lineares.

Passo 2

Vamos escrever a equação matricial particionada em dois blocos de equações: a equação para as linhas “E” e a equação para as linhas “F”. Temos
KE,bar dE + KEF,dF = bar fE
KEF^T,bar dE + KF,dF = fF

Passo 3

Agora resolvemos primeiro a segunda equação pelo subvetor desconhecido dF. Como KF é conhecida e assumimos que é inversível, temos
dF = KF^-1l(fF - KEF^T,bar dEr)

Passo 4

Por fim, substituímos dF que encontramos na primeira equação para obter bar fE. Assim,
bar fE = KE,bar dE + KEF,KF^-1l(fF - KEF^T,bar dEr)

Passo 5

Pronto! Encontramos explicitamente dF e bar fE em função dos dados conhecidos.

Resposta

d_F = K_F^{-1}\bigl(f_F - K_{EF}^T,\bar d_E\bigr), \quad \bar f_E = K_E,\bar d_E + K_{EF},K_F^{-1}\bigl(f_F - K_{EF}^T,\bar d_E\bigr)

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