Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+3 y^prime=0 y(0)=-2 y^prime(0)=3
Escolha uma opção:
y=e^t
y=-1-e^-3 t
y=52 e^-t-12 e^-3 t
y=3 e^-t+22-e^t+222
Nenhuma das demais alternativas
y=12 e^t3-8 e^t2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'' + 3y'=0 com as condições y(0)=-2 e y'(0)=3. Esse conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rt. Substituindo na equação y''+3y'=0 obtemos a equação característica r^2+3r=0.

Passo 3

Resolvendo r^2+3r=0 temos r(r+3)=0, logo r1=0 e r2=-3. Assim a solução geral é y(t)=C1 e^0,t+C2 e^-3t=C1+C2e^-3t.

Passo 4

Calculamos a derivada y'(t)=-3C2e^-3t. Aplicando as condições iniciais: em t=0 temos y(0)=C1+C2=-2 e y'(0)=-3C2=3. Da segunda condição vem C2=-1. Substituindo em C1+C2=-2 C1-1=-2 e logo C1=-1.

Passo 5

Substituindo os valores de C1 e C2 na solução geral, concluímos que y(t)=-1 - e^-3t.

Resposta

y=-1-e^{-3t}

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