Calcule os limites abaixo.
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
(5.4)
;
(5.5)
.
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
Passo 1
A questão pede para calcular cinco limites (5.1) a (5.5), envolvendo principalmente comportamentos quando
e em um ponto de descontinuidade em
. Vamos usar técnicas de fatoração de
, a propriedade
, combinação de frações e racionalização de expressões com raízes.
Passo 2
Para o limite (5.1) quando
, dividimos numerador e denominador por
(que é positivo):
Dividindo, temos:
Como
,
e
, logo o limite é 1.
Passo 3
Para o limite (5.2) quando
, notamos que
(pois
é negativo). Assim:
Quando
,
e
, então o limite é
.
Passo 4
No limite (5.3) em
, temos duas frações com denominadores que se anulam em
. Fazemos o somador com denominador comum
:
Quando
, o numerador
e o denominador
, resultando em
.
Passo 5
Para o limite (5.4) quando
, temos a forma
. Racionalizamos subtraindo
e multiplicando pelo conjugado:
Como
, o denominador
, logo o valor vai a 0.
Passo 6
No limite (5.5) quando
, usamos a mesma racionalização:
Aqui
(positivo grande) e
é negativo, de modo que o denominador tende a zero pela direita e a fração cresce sem limite, dando
.
Resposta
(5.1)=1, (5.2)=-1, (5.3)=-\infty, (5.4)=0, (5.5)=+\infty