Calcule os limites abaixo.
(5.1) lim x +infty raizx^2+1x+1;
(5.2) lim x -infty raizx^2+1x+1;
(5.3) lim x 1^+(1x-1-3x^2-1)
(5.4) lim x +infty raizx^2+1-x;
(5.5) lim x -infty raizx^2+1-x.

Passo 1

A questão pede para calcular cinco limites (5.1) a (5.5), envolvendo principalmente comportamentos quando xtopminfty e em um ponto de descontinuidade em x=1^+. Vamos usar técnicas de fatoração de x, a propriedade raizx^2=|x|, combinação de frações e racionalização de expressões com raízes.

Passo 2

Para o limite (5.1) quando xto+infty, dividimos numerador e denominador por x (que é positivo):
Dividindo, temos:
raizx^2+1x+1 =xraiz1+1/x^2x(1+1/x) =raiz1+1/x^21+1/x
Como xto+infty, 1/xto0 e raiz1+1/x^2to1, logo o limite é 1.

Passo 3

Para o limite (5.2) quando xto-infty, notamos que raizx^2=|x|=-x (pois x é negativo). Assim:
raizx^2+1x+1 =-xraiz1+1/x^2x(1+1/x) =-raiz1+1/x^21+1/x
Quando xto-infty, 1/xto0 e raiz1+1/x^2to1, então o limite é -1.

Passo 4

No limite (5.3) em xto1^+, temos duas frações com denominadores que se anulam em x=1. Fazemos o somador com denominador comum (x-1)(x+1):
1x-1-3x^2-1 =1x-1-3(x-1)(x+1) =(x+1)-3(x-1)(x+1) =x-2(x-1)(x+1)
Quando xto1^+, o numerador x-2to-1 e o denominador (x-1)(x+1)to0^+, resultando em -1)/(0^+)= -infty.

Passo 5

Para o limite (5.4) quando xto+infty, temos a forma infty-infty. Racionalizamos subtraindo x e multiplicando pelo conjugado:
raizx^2+1-x =(raizx^2+1-x)(raizx^2+1+x)raizx^2+1+x =x^2+1 - x^2raizx^2+1+x =1raizx^2+1+x
Como xto+infty, o denominador sim2xto+infty, logo o valor vai a 0.

Passo 6

No limite (5.5) quando xto-infty, usamos a mesma racionalização:
raizx^2+1-x=1raizx^2+1+x
Aqui raizx^2+1sim -x (positivo grande) e x é negativo, de modo que o denominador tende a zero pela direita e a fração cresce sem limite, dando +infty.

Resposta

(5.1)=1, (5.2)=-1, (5.3)=-\infty, (5.4)=0, (5.5)=+\infty

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